4654. Диагонали AC
и BD
трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
пересекаются в точке O
. Известно, что AD=2BC
и площадь треугольника AOB
равна 4. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 18.
Указание. Отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению их оснований.
Решение. Треугольник BOC
подобен треугольнику DOA
с коэффициентом \frac{1}{2}
, значит, OC=\frac{1}{2}AO
, поэтому
S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}\cdot4=2,
S_{\triangle DOA}=2S_{\triangle AOB}=2\cdot4=8,
а так как треугольники ABD
и ACD
равновелики (у них общие основания и равные высоты), то
S_{\triangle COD}=S_{\triangle ACD}-S_{\triangle DOA}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle DOA}=S_{\triangle AOB}=4.
Следовательно,
S_{ABCD}=2S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC}+S_{\triangle DOA}=2\cdot4+2+8=18.