4656. Центр окружности радиуса 5, описанной около равнобедренной трапеции, лежит на большем основании, а меньшее основание равно 6. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 32.
Решение. Пусть центр окружности, описанной около равнобедренной трапеции ABCD
с основаниями AB
и CD
, лежит на большем основании AD
. Тогда AD
— диаметр окружности, поэтому AD=10
и \angle ACD=90^{\circ}
.
Пусть CH
— высота трапеции. Тогда
AH=\frac{1}{2}(AD+BC)=\frac{1}{2}(10+6)=8,~DH=\frac{1}{2}(AD-BC)=\frac{1}{2}(10-6)=2.
По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла
CH=\sqrt{AH\cdot DH}=\sqrt{8\cdot2}=4.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(BC+AD)\cdot CH=8\cdot4=32.