4660. Дана трапеция ABCD
с основаниями AD=3
и BC=18
. Точка M
расположена на диагонали AC
, причём AM:MC=1:2
. Прямая, проходящая через точку M
параллельно основаниям трапеции, пересекает диагональ BD
в точке N
. Найдите MN
.
Ответ. 4.
Решение. Пусть K
— точка пересечения указанной прямой с боковой стороной AB
. По теореме о пропорциональных отрезках \frac{AK}{KB}=\frac{AM}{MC}=\frac{1}{2}
. Аналогично, \frac{BN}{ND}=\frac{BK}{AK}=2
.
Из подобия треугольников AKM
и ABC
находим, что
MK=BC\cdot\frac{AM}{AC}=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}\cdot18=6,
а из подобия треугольников BKN
и BAD
—
NK=AD\cdot\frac{BN}{BD}=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}\cdot3=2.
Следовательно,
MN=MK-NK=6-2=4.