4664. Центр окружности, вписанной в трапецию, удалён от концов одной из боковых сторон на расстояния 5 и 12. Найдите эту сторону.
Ответ. 13.
Указание. Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под прямым углом.
Решение. Пусть O
— центр окружности, вписанной в трапецию ABCD
с основаниями AD
и BC
, OA=12
, OB=5
.
Лучи AO
и BO
— биссектрисы углов при боковой стороне трапеции. Сумма этих углов равна 180^{\circ}
, сумма их половин равна 90^{\circ}
. Следовательно, угол AOB
— прямой. По теореме Пифагора
AB=\sqrt{AO^{2}+BO^{2}}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13.