4669. Диагонали трапеции равны 6 и 8, а средняя линия равна 5. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 24.
Решение. Пусть h
— высота трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
и диагоналями AC=6
и BD=8
, l
— средняя линия трапеции. Через вершину C
проведём прямую параллельно диагонали BD
до пересечения с продолжением основания AD
в точке M
. Тогда четырёхугольник BCMD
— параллелограмм, поэтому
CM=BD=8,~DM=BC,~AM=AD+DM=AD+BC=2l=10.
Значит, треугольник ACM
— прямоугольный (AM^{2}=AC^{2}+CM^{2}
). Его площадь равна половине произведения катетов, т. е.
S_{\triangle ACM}=\frac{1}{2}AC\cdot CM=\frac{1}{2}\cdot6\cdot8=24.
Следовательно,
S_{ABCD}=lh=\frac{1}{2}(AD+BC)h=\frac{1}{2}(AD+DM)\cdot h=
=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot h=\frac{1}{2}AM\cdot h=S_{\triangle ACM}=24.