4671. На сторонах AB
и BC
треугольника ABC
выбраны точки K
и M
соответственно так, что KM\parallel AC
. Отрезки AM
и KC
пересекаются в точке O
. Известно, что AK=AO
и KM=MC
. Докажите, что AM=KB
.
Указание. Треугольники BKM
и AMC
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Решение. Первый способ. Обозначим \angle MCK=\alpha
, \angle AOK=\beta
. Треугольник AKO
равнобедренный, поэтому \angle AKO=\angle AOK=\beta
. Прямые KM
и AC
параллельны, поэтому \angle ACK=\angle MKC
, а так как треугольник KMC
также равнобедренный, то
\angle ACK=\angle MKC=\angle MCK=\alpha,~\angle ACM=2\alpha.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle MAC=\angle AOK-\angle ACK=\beta-\alpha,
значит,
\angle AMC=180^{\circ}-\angle ACM-\angle MAC=180^{\circ}-2\alpha-(\beta-\alpha)=180^{\circ}-\alpha-\beta.
Из параллельности прямых KM
и AC
следует также, что
\angle BMK=\angle BCA=\angle ACM=2\alpha,
а так как
\angle AKM=\angle AKO+\angle MKO=\beta+\alpha,
то
\angle BKM=180^{\circ}-\angle AKM=180^{\circ}-\alpha-\beta.
Таким образом, о треугольниках BKM
и AMC
известно, что KM=MC
, \angle BKM=\angle AMC
и \angle BMK=\angle ACM
, значит, эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, KB=AM
.
Второй способ. Обозначим \angle MCK=\alpha
, \angle AOK=\beta
. Треугольник AKO
равнобедренный, поэтому \angle AKO=\angle AOK=\beta
. Прямые KM
и AC
параллельны, поэтому \angle ACK=\angle MKC
, а так как треугольник KMC
также равнобедренный, то
\angle ACK=\angle MKC=\angle MCK=\alpha,~\angle ACM=2\alpha,
а луч CK
— биссектриса угла ACB
. При симметрии относительно прямой CK
точка B
перейдёт в некоторую точку D
, лежащую на прямой AC
, причём DK=KB
.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle MAC=\angle AOK-\angle ACK=\beta-\alpha.
Кроме того,
\angle AKM=\angle AKO+\angle MKO=\beta+\alpha,
то
\angle BKM=180^{\circ}-\angle AKM=180^{\circ}-\alpha-\beta.
Значит,
\angle ADK=\angle MBK=180^{\circ}-\angle BKM-\angle BMK=180^{\circ}-(180^{\circ}-\alpha-\beta)-2\alpha=\beta-\alpha=\angle MAC,
поэтому DK\parallel AM
, а так как KM\parallel AD
, то четырёхугольник AMKD
— параллелограмм. Следовательно, AM=DK=BK
, что и требовалось доказать.