4674. Хорды AC
и BD
окружности пересекаются в точке P
. Перпендикуляры к AC
и BD
, восставленные в точках C
и D
соответственно, пересекаются в точке Q
. Докажите, что прямые AB
и PQ
перпендикулярны.
Решение. Пусть прямая DQ
вторично пересекает данную окружность в точке R
. Вписанные в эту окружность углы CAR
и CDR
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle CAR=\angle CDR
. Из точек D
и C
отрезок PQ
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром PQ
. Вписанные в эту окружность углы CDQ
и CPQ
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle CPQ=\angle CDQ=\angle CDR=\angle CAR,
значит, PQ\parallel AR
, а так как \angle BDR=90^{\circ}
, то BR
— диаметр данной окружности. Следовательно, \angle BAR=90^{\circ}
, т. е. AR\perp AB
, но тогда и PQ\perp AB
, что и требовалось доказать.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2005, I, заочный тур, № 1, 8 класс
Источник: Всероссийская олимпиада по геометрии. — 2005, 8-10 классы