4675. Даны треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
с равными углами при вершинах A
и A_{1}
и равными отношениями высот, проведённых из этих вершин. Докажите, что треугольник ABC
подобен либо треугольнику A_{1}B_{1}C_{1}
, либо треугольнику A_{1}C_{1}B_{1}
.
Решение. Без ограничения общности будем считать, что вершины A
и A_{1}
совпадают, а точки B_{1}
и C_{1}
лежат на лучах AB
и AC
соответственно. Если при этом прямые B_{1}C_{1}
и BC
параллельны, то очевидно, треугольник ABC
подобен треугольнику A_{1}B_{1}C_{1}
. Если же эти прямые не параллельны, то на луче отметим точку D
, для которой B_{1}D\parallel BC
(см. рис.).
Пусть AH=h
и AH_{1}=h_{1}
— высоты треугольников ABC
и AB_{1}C_{1}
, опущенные на стороны BC=a
и B_{1}C_{1}=a_{1}
, D
— точка пересечения AH
и D_{1}B
, AP=h'
— высота треугольника AB_{1}D=a'
.
Тогда \angle PAH_{1}=\angle H_{1}B_{1}P
как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. По условию задачи и из подобия треугольников AB_{1}D
и ABC
получаем
\frac{h_{1}}{a_{1}}=\frac{h}{a}=\frac{h'}{a'},
откуда
\frac{AH_{1}}{AP}=\frac{h_{1}}{h'}=\frac{a_{1}}{a'}=\frac{B_{1}C_{1}}{B_{1}D}.
Значит, треугольники PAH_{1}
и DB_{1}C_{1}
подобны по двум сторонами и углу между ними, поэтому \angle APH_{1}=\angle B_{1}DC_{1}
.
Из точек H_{1}
и P
отрезок AB_{1}
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AB_{1}
. Тогда
\angle AB_{1}C_{1}=\angle AB_{1}H_{1}=\angle APH_{1}=\angle B_{1}DC_{1}=\angle BCA.
Следовательно, треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
подобен треугольнику ACB
по двум углам. Что и требовалось доказать.