4680. В треугольнике ABC
точка D
— середина стороны AB
. Можно ли так расположить точки E
и F
на сторонах AC
и BC
соответственно, чтобы площадь треугольника DEF
оказалась больше суммы площадей треугольников AED
и BFD
?
Ответ. Нет.
Решение. Обозначим \frac{AE}{AC}=x
, \frac{BF}{BC}=y
, S_{\triangle ABC}=s
. Тогда
\frac{S_{\triangle AED}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{\frac{1}{2}AE\cdot AD\sin\angle BAC}{\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin\angle BAC}=\frac{AE\cdot AD}{AB\cdot AC}=\frac{AE}{AC}\cdot\frac{AD}{AB}=x\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}x.
Аналогично,
\frac{S_{\triangle BFD}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{BD}{BA}\cdot\frac{BF}{BC}=\frac{1}{2}y,~\frac{S_{\triangle ECF}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{CE}{CA}\cdot\frac{CF}{CB}=(1-x)(1-y).
Поэтому
S_{\triangle AED}=\frac{1}{2}xs,~S_{\triangle BFD}=\frac{1}{2}ys,~S_{\triangle ECF}=(1-x)(1-y)s,
значит,
S_{\triangle AED}+S_{\triangle BDF}=\frac{1}{2}xs+\frac{1}{2}ys=\frac{1}{2}s(x+y),
S_{\triangle DEF}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle DEA}-S_{\triangle BFD}-S_{\triangle ECF}=
=s-\frac{1}{2}xs-\frac{1}{2}ys-(1-x)(1-y)s=\frac{1}{2}s(2-x-y-2(1-x)(1-y))=
=\frac{1}{2}s(x+y-2xy)=\frac{1}{2}s(x+y)-xys=S_{\triangle AED}+S_{\triangle BDF}-xys,
Следовательно,
S_{\triangle AED}+S_{\triangle BDF}\gt S_{\triangle DEF}.