4682. Середину более длинной боковой стороны прямоугольной трапеции соединили с вершинами трапеции. При этом трапеция разделилась на три равнобедренных треугольника. Найдите величину острого угла трапеции.
Ответ. 72^{\circ}
.
Решение. Пусть M
— середина большей боковой стороны CD
прямоугольной трапеции ABCD
с основаниями BC\lt AD
, N
— середина меньшей боковой стороны AB
, а треугольники BCM
, AMB
и AMD
— равнобедренные.
По теореме о средней линии трапеции MN\parallel BC
, и так как AB\perp BC
, то MN\perp AB
. Медиана MN
треугольника AMB
является его высотой, значит, этот треугольник равнобедренный, причём \angle BAM=\angle ABM
. Угол BCD
— тупой, значит, это угол при вершине равнобедренного треугольника BCM
.
Обозначим \angle CBM=\angle CMB=\alpha
. Тогда
\angle BCM=180^{\circ}-2\alpha,~\angle ADC=180^{\circ}-\angle BCM=180^{\circ}-(180^{\circ}-2\alpha)=2\alpha,
\angle BMN=\angle MBC=\alpha,~\angle AMB=2\angle BMN=2\alpha,
\angle AMD=180^{\circ}-\angle BMC-\angle AMB=180^{\circ}-3\alpha,~\angle DAM=\angle AMN=\alpha.
Предположим, что AD=DM
. Тогда \angle DAM=\angle AMD
, или \alpha=180^{\circ}-3\alpha
, т. е. 2\alpha=90^{\circ}
, что невозможно.
Пусть теперь AM=MD
. Тогда \angle DAM=\angle ADM
, или \alpha=3\alpha
, т. е. \alpha=0^{\circ}
, что также невозможно.
Если же AD=AM
, то \angle ADM=\angle AMD
, или 180^{\circ}-3\alpha=2\alpha
, откуда находим, что \alpha=36^{\circ}
. Следовательно, \angle ADC=2\alpha=72^{\circ}
.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2007, LXX, окружной этап, 8 класс