4683. На стороне AC
треугольника ABC
взята точка D
так, что AD:DC=1:2
. Докажите, что у треугольников ADB
и CDB
есть по равной медиане.
Решение. Пусть AM
и DN
— медианы треугольников ADB
и CDB
соответственно. Отрезок MN
— средняя линия треугольника DBC
, поэтому MN=\frac{1}{2}CD=AD
и MN\parallel AD
, значит, четырёхугольник AMND
— параллелограмм. Следовательно, AM=DN
, что и требовалось доказать.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2007, LXX, окружной этап, 8 класс
Источник: Избранные задачи окружных олимпиад по математике в Москве / Сост. А. Д. Блинков. — М.: МЦНМО, 2015. — № 96, с. 18