4684. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
выполняются равенства: \angle CBD=\angle CAB
и \angle ACD=\angle ADB
. Докажите, что из отрезков BC
, AD
и AC
можно сложить прямоугольный треугольник.
Решение. Пусть диагонали AC
и BD
четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке O
. Треугольник BOC
подобен треугольнику ABC
по двум углам (\angle OBC=\angle CAB
по условию, угол ACB
— общий), поэтому \frac{OC}{BC}=\frac{BC}{AC}
, значит, BC^{2}=OC\cdot AC
. Аналогично докажем, что AD^{2}=AO\cdot AC
. Сложив почленно доказанные равенства, получим, что
BC^{2}+AD^{2}=OC\cdot AC+AO\cdot AC=AC(OC+AO)=AC\cdot AC=AC^{2}.
По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник, со сторонами, равными BC
, AD
и AC
, — прямоугольный, что и требовалось доказать.