4685. В выпуклом пятиугольнике ABCDE
известно, что \angle A=\angle B=\angle D=90^{\circ}
. Найдите угол ADB
, если известно, что в данный пятиугольник можно вписать окружность.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, вписанной в данный пятиугольник, K
, L
, M
, N
и T
— точки касания окружности со сторонами AB
, BC
, CD
, DE
и AE
соответственно. Тогда отрезки OK
, OL
, OM
, ON
и OT
перпендикулярны соответствующим сторонами пятиугольника. Поскольку углы KBL
, KAT
и MDN
— прямые, четырёхугольники BLOK
, AKOT
и DMON
— равные квадраты, а отрезки OB
, OA
и OD
равны как диагонали этих квадратов, поэтому точка O
равноудалена от вершин треугольника ADB
, т. е. является центром его описанной окружности. Угол ADB
вписан в эту окружность, поэтому он равен половине соответствующего ему центрального угла AOB
, а так как
\angle AOB=\angle AOK+\angle BOK=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ},
то
\angle ADB=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}\cdot90^{\circ}=45^{\circ}.