4687. Точка M
лежит на стороне BC
треугольника ABC
. Известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник ABM
, в два раза больше радиуса окружности, вписанной в треугольник ACM
. Может ли отрезок AM
оказаться медианой треугольника ABC
?
Ответ. Нет.
Решение. Пусть S
— площадь треугольника ABC
, r
— радиус окружности, вписанной в треугольник AMC
. Тогда радиус окружности, вписанной в треугольник ABM
равен 2r
. Допустим, что AM
— медиана треугольника ABC
. Тогда площади треугольников ABM
и ACM
равны \frac{S}{2}
.
Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности, поэтому
2r=\frac{\frac{S}{2}}{\frac{AB+AM+BM}{2}}=\frac{S}{AB+AM+BM},~r=\frac{\frac{S}{2}}{\frac{AC+AM+CM}{2}}=\frac{S}{AC+AM+CM},
поэтому
\frac{S}{AB+AM+BM}=\frac{2S}{AC+AM+CM},~\frac{1}{AB+AM+BM}=\frac{2}{AC+AM+CM},
откуда находим, что
AC=2AB+AM+2BM-CM=2AB+AM+CM\gt AM+CM,
что противоречит неравенству треугольника. Следовательно, AM
не может быть медианой треугольника ABC
.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2007, LXX, окружной этап, 11 класс