4688. В треугольник ABC
с прямым углом C
вписана окружность, касающаяся сторон AC
, BC
и AB
в точках M
, K
и N
соответственно. Через точку K
провели прямую, перпендикулярную отрезку MN
. Она пересекла катет AC
в точке X
. Докажите, что CK=AX
.
Решение. Центр O
окружности, вписанной в треугольник ABC
, лежит на биссектрисе угла MAN
, а так как биссектриса равнобедренного треугольника является его высотой, то AO\perp MN
, значит, AO\parallel XK
.
Радиус OK
, проведённый в точку касания окружности с катетом BC
, перпендикулярен BC
, поэтому OK\parallel AX
. Противоположные стороны четырёхугольника AXKO
попарно параллельны, значит, AXKO
— параллелограмм. Следовательно, AX=OK
, а так как OKCM
— квадрат, то CK=OK=OX
.
Автор: Волчкевич М. А.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2007, LXX, 8 класс