4689. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
стороны AB
, BC
и CD
равны, M
— середина стороны AD
. Известно, что угол BMC
равен 90^{\circ}
. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника ABCD
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Первый способ. На продолжении отрезков BM
и CM
за точку M
отложим соответственно отрезки MB_{1}=BM
и MC_{1}=CM
(рис. 1). Диагонали четырёхугольника BCB_{1}C_{1}
перпендикулярны и делятся точкой пересечения M
пополам, значит, BCB_{1}C_{1}
— ромб.
Обозначим \angle C_{1}BB_{1}=\angle CBB_{1}=\alpha
, \angle BCC_{1}=\angle B_{1}CC_{1}=\beta
. Из прямоугольного треугольника BMC
находим, что \alpha+\beta=90^{\circ}
.
Диагонали AD
и CC_{1}
четырёхугольника ACDC_{1}
точкой пересечения M
пополам, значит, ACDC_{1}
— параллелограмм, поэтому AC_{1}=CD=BC=AB
, а так как AB=BC=BC_{1}
(BCB_{1}C_{1}
— ромб), то AC_{1}=AB=BC_{1}
, т. е. треугольник ABC_{1}
— равносторонний. Следовательно, \angle ABC_{1}=60^{\circ}
. Аналогично, \angle DCB_{1}=60^{\circ}
Обозначим \angle ACB=\angle CAB=\gamma
, \angle CBD=\angle CDB=\delta
. Сумма углов треугольника ABC
равна 180^{\circ}
, т. е. 2\gamma+60^{\circ}+2\alpha=180^{\circ}
, откуда \alpha+\gamma=60^{\circ}
. Аналогично, \beta+\delta=60^{\circ}
. Следовательно, \alpha+\beta+\gamma+\delta=120^{\circ}
, а так как \alpha+\beta=90^{\circ}
, то
\gamma+\delta=120^{\circ}-(\alpha+\beta)=120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}.
Пусть P
— точка пересечения диагоналей данного четырёхугольника ABCD
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle APB=\angle PCB+\angle PBC=\gamma+\delta=30^{\circ}.
Второй способ. Пусть O
, K
, L
— середины отрезков BC
, AC
и BD
соответственно (рис. 2), P
— точка пересечения прямых AC
и BD
. Точки K
и L
различны (иначе ABCD
— ромб и \angle BMC\lt\angle BPC=90^{\circ}
). Медианы BK
и CL
равнобедренных треугольников ABC
и BCD
являются высотами, поэтому BK\perp AC
и CL\perp BD
. Из точек M
, K
и L
отрезок BC
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BC
, а O
— центр этой окружности.
Отрезок KM
— средняя линия треугольника ACD
, поэтому
KM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}BC=OC=OM.
Аналогично, LM=OM
. Поскольку OK=OM
, треугольник OKM
— равносторонний, поэтому \angle KOM=60^{\circ}
. Аналогично, \angle MOL=60^{\circ}
, значит, \angle KOL=120^{\circ}
. Вписанный угол KBL
опирается на дугу KML
, поэтому либо \angle KBL=60^{\circ}
, либо \angle KBL=120^{\circ}
. В любом из этих случаев BPK
— острый угол прямоугольного треугольника BKP
с другим острым углом в 60^{\circ}
. Следовательно, \angle BPK=30^{\circ}
.
Примечание. Приведённые доказательства годятся также для невыпуклого четырёхугольника.