4690. Отрезки AB
и CD
не параллельны и не пересекаются. Точка P
лежит на отрезке AB
, а точка Q
— на отрезке CD
. Точки K
, L
, M
и N
— середины отрезков AQ
, BQ
, CP
и DP
соответственно. Докажите, что отрезки KL
, MN
и PQ
пересекаются в одной точке.
Решение. Отрезок KL
— средняя линия треугольника AQB
, значит, KL\parallel AB
, а так как K
— середина AQ
, то по теореме Фалеса отрезок KL
проходит через середину отрезка PQ
. Аналогично докажем, что отрезок MN
также проходит через середину PQ
. Следовательно, отрезки KL
, MN
и PQ
пересекаются в одной точке — середине отрезка PQ
.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2005, LXVIII, окружной этап, 8 класс