4694. Точки M
и N
— середины сторон AB
и CD
выпуклого четырёхугольника ABCD
с диагоналями BD
и AC
. Докажите, что:
а) MN\lt\frac{BD+AC}{2}
;
б) MN\leqslant\frac{BC+AD}{2}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины сторон AB
и CD
соответственно.
а) Отметим на стороне AD
её середину K
. Тогда MK
и NK
— средние линии треугольников ABD
и ACD
, поэтому MK=\frac{1}{2}BD
и NK=\frac{1}{2}AC
. Применив неравенство треугольника к треугольнику MKN
, получим, что
MN\lt MK+NK=\frac{1}{2}BD+\frac{1}{2}AC=\frac{BD+AC}{2}.
Что и требовалось доказать.
б) На продолжении отрезка BN
за точку N
отложим отрезок NL=BN
. Тогда треугольники DNL
и CNB
равны по двум сторонам и углу между ними, значит, DL=MN
. Кроме того, отрезок MN
— средняя линия треугольника ABL
, поэтому MN=\frac{1}{2}AL
.
Для точек A
, D
и L
верно неравенство
AL\leqslant AD+DL=AD+BC,
причём равенство достигается, когда точка D
лежит между A
и L
. В противном случае
2MN=AL\lt AD+DL=AD+BC.
Следовательно, MN\lt\frac{AD+BC}{2}
. Что и требовалось доказать.