4695. Один из углов треугольника на 120^{\circ}
больше другого. Докажите, что биссектриса треугольника, проведённая из вершины третьего угла, вдвое длиннее, чем высота, проведённая из той же вершины.
Решение. Обозначим угол B
треугольника ABC
через \alpha
. Тогда один из других углов, например, угол A
, равен 120^{\circ}+\alpha
. Пусть CD
— биссектриса, а CH
— высота треугольника ABC
. Угол A
— тупой, поэтому точка H
лежит на продолжении стороны AB
за точку A
, а точка A
лежит между точками D
и H
.
По теореме о сумме углов треугольника
\angle BCD=\frac{1}{2}\angle ACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ABC-\angle BAC)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha-120^{\circ}-\alpha)=30^{\circ}-\alpha.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle ADC=\angle ABC+\angle BCD=\alpha+(30^{\circ}-\alpha)=30^{\circ}.
Катет CH
прямоугольного треугольника CDH
лежит против угла в 30^{\circ}
, следовательно, CH=\frac{1}{2}CD
. Что и требовалось доказать.