4697. Дан равносторонний треугольник ABC
. Точка K
— середина стороны AB
, точка M
лежит на стороне BC
, причём BM:MC=1:3
. На стороне AC
выбрана точка P
так, что периметр треугольника PKM
— наименьший из возможных. В каком отношении точка P
делит сторону AC
?
Ответ. 2:3
.
Указание. Соедините точку K
с точкой, симметричной точке M
относительно прямой AC
.
Решение. Поскольку сторона KM
треугольника ABC
фиксирована, необходимо найти на стороне AC
такую точку P
, чтобы сумма KP+PM
была наименьшей из возможных.
Пусть M_{1}
— точка, симметричная точке M
относительно прямой AC
. Докажем, что точка пересечения отрезка KM_{1}
со стороной AC
есть искомая точка P
.
Действительно, пусть Q
— произвольная точка отрезка AC
, отличная от P
. Тогда по неравенству треугольника
KQ+MQ=KQ+M_{1}Q\gt KM_{1}=KP+PM_{1}=KP+PM,
что и требовалось доказать.
Пусть сторона данного равностороннего треугольника ABC
равна a
. Тогда CM=\frac{3}{4}a
и AK=\frac{1}{2}a
. Точка M_{1}
симметрична точке M
относительно прямой AC
, поэтому CM_{1}=CM=\frac{3}{4}a
, а так как \angle ACM_{1}=\angle ACB=60^{\circ}=\angle KAP
, то треугольник AKP
подобен треугольнику CM_{1}P
по двум углам. Следовательно,
\frac{AP}{PC}=\frac{AK}{CM_{1}}=\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{3}{4}a}=\frac{2}{3}.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2006, LXIX, окружной этап, 10 класс