4698. Укажите все выпуклые четырёхугольники, у которых суммы синусов противолежащих углов равны.
Ответ. Параллелограмм или трапеция.
Решение. Обозначим через \alpha
, \beta
, \gamma
и \delta
последовательные углы четырёхугольника. По условию задачи \sin\alpha+\sin\gamma=\sin\beta+\sin\delta
, а так как \alpha+\beta+\gamma+\delta=360^{\circ}
, то \sin\delta=\sin(360^{\circ}-\alpha-\beta-\gamma)=-\sin(\alpha+\beta+\gamma)
, поэтому \sin\alpha+\sin\gamma=\sin\beta-\sin(\alpha+\beta+\gamma)
.
Преобразуем это равенство, применяя формулы тригонометрии.
2\sin\frac{\alpha+\gamma}{2}\cos\frac{\alpha-\gamma}{2}=-2\sin\frac{\alpha+\gamma}{2}\cos\left(\beta+\frac{\alpha+\gamma}{2}\right),
Заметим, что \alpha+\gamma\ne360^{\circ}
, поэтому \sin\frac{\alpha+\gamma}{2}\ne0
, значит,
\cos\frac{\alpha-\gamma}{2}=-\cos\left(\beta+\frac{\alpha+\gamma}{2}\right),~\cos\frac{\alpha-\gamma}{2}+\cos\left(\beta+\frac{\alpha+\gamma}{2}\right)=0,
2\cos\frac{\frac{\alpha-\gamma}{2}+\beta+\frac{\alpha+\gamma}{2}}{2}\cos\frac{\frac{\alpha-\gamma}{2}-\beta-\frac{\alpha+\gamma}{2}}{2},~\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\gamma+\beta}{2}=0,
откуда находим, что \cos\frac{\alpha+\beta}{2}=0
или \cos\frac{\gamma+\beta}{2}=0
, значит, \alpha+\beta=180^{\circ}
или \gamma+\beta=180^{\circ}
, а так как углы \alpha
и \beta
прилежат к одной стороне четырёхугольника, то в первом случае две противоположные стороны параллельны, а во втором — две другие. Следовательно, четырёхугольник — либо трапеция, либо параллелограмм.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2006, LXIX, окружной этап, 10 класс