4700. Продолжение биссектрисы угла B
треугольника ABC
пересекает описанную окружность в точке M
; O
— центр вписанной окружности, O_{1}
— центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC
. Докажите, что точки A
, C
, O
и O_{1}
лежат на окружности с центром в точке M
.
Указание. Докажите, что треугольники OMA
и AMO_{1}
— равнобедренные.
Решение. Поскольку
\angle AOM=\angle ABO+\angle OAB=\angle ACM+\angle OAB=
=\angle CAM+\angle OAC=\angle OAM,
то треугольник OMA
— равнобедренный, MO=MA
. Аналогично докажем, что MO=MC
.
Угол OMO_{1}
— прямой как угол между биссектрисами смежных углов. Обозначим \angle AOM=\angle OAM=\varphi
. Тогда
\angle MAO_{1}=90^{\circ}-\varphi,~\angle MO_{1}A=90^{\circ}-\varphi.
Поэтому треугольник AMO_{1}
— равнобедренный и MA=MO_{1}
. Следовательно, MA=MO=MC=MO_{1}
. Поэтому точки A
, O
, C
, O_{1}
лежат на окружности с центром в точке M
.