4702. Диагональ AC
квадрата ABCD
совпадает с гипотенузой прямоугольного треугольника ACK
, причём точки B
и K
лежат по одну сторону от прямой AC
. Докажите, что BK=\frac{|AK-CK|}{\sqrt{2}}
и DK=\frac{AK+CK}{\sqrt{2}}
.
Указание. Докажите, что точка K
лежит на окружности, описанной около данного квадрата, и воспользуйтесь формулой a=2R\sin\alpha
.
Решение. Пусть CK\gt AK
. Обозначим \angle ACK=\varphi
. Тогда \varphi\lt45^{\circ}
. Точка K
лежит на окружности, описанной около данного квадрата. Если R
— радиус этой окружности, то
BK=2R\sin\angle BCK=AC\sin(45^{\circ}-\varphi)=
=AC\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\varphi-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sin\varphi\right)=
=\frac{AC\cos\varphi-AC\sin\varphi}{\sqrt{2}}=\frac{CK-AK}{\sqrt{2}},
DK=2R\sin\angle KCD=AC\sin(45^{\circ}+\varphi)=
=\frac{AC\cos\varphi+AC\sin\varphi}{\sqrt{2}}=\frac{CK+AK}{\sqrt{2}}.