4704. Все углы треугольника ABC
меньше 120^{\circ}
. Докажите, что внутри него существует точка, из которой все стороны треугольника видны под углом 120^{\circ}
.
Указание. Постройте на стороне BC
вне треугольника ABC
равносторонний треугольник A_{1}BC
. Искомая точка есть точка пересечения прямой AA_{1}
с окружностью, описанной около треугольника A_{1}BC
.
Решение. Построим на стороне BC
треугольника ABC
внешним образом правильный треугольник A_{1}BC
. Пусть P
— точка пересечения прямой AA_{1}
с описанной окружностью треугольника A_{1}BC
. Тогда точка P
лежит внутри треугольника ABC
и
\angle APC=180^{\circ}-\angle A_{1}PC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.
Аналогично \angle APB=120^{\circ}
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 2.8, с. 32