4707. Окружности S_{1}
и S_{2}
пересекаются в точках A
и P
. Через точку A
проведена касательная AB
к окружности S_{1}
, а через точку P
— прямая CD
, параллельная прямой AB
(точки B
и C
лежат на S_{2}
, точка D
— на S_{1}
). Докажите, что ABCD
— параллелограмм.
Указание. Примените теорему об угле между касательной и хордой.
Решение. Рассмотрим случай, когда точка P
лежит между точками D
и C
. Поскольку APCB
— равнобедренная трапеция, то
\angle ABC=\angle PAB=\angle ADP=180^{\circ}-\angle DAB.
Следовательно, AD\parallel BC
. Поэтому ABCD
— параллелограмм. Аналогично для случая, когда точка P
не лежит между D
и C
.