4709. Две окружности пересекаются в точках A
и B
. Из точки A
к этим окружностям проведены касательные AM
и AN
(M
и N
— точки окружностей). Докажите, что а) \angle ABN+\angle MAN=180^{\circ}
; б) \frac{BM}{BN}=\left(\frac{AM}{AN}\right)^{2}
.
Указание. Докажите, что треугольники MAB
и ANB
подобны.
Решение. Пусть K
— точка на продолжении MA
за точку A
. Тогда
\angle ABN+\angle MAN=\angle KAN+\angle MAN=180^{\circ}.
Поскольку \angle AMB=\angle BAN
и \angle MAB=\angle ANB
, то треугольники MAB
и ANB
подобны. Поэтому
\frac{AB}{BN}=\frac{AM}{AN},~\frac{BM}{AB}=\frac{AM}{AN}.
Перемножив почленно эти равенства, получим, что
\frac{BM}{BN}=\left(\frac{AM}{AN}\right)^{2}.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 2.25, с. 35
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 2.27, с. 34