4712. Окружность S_{1}
касается сторон угла ABC
в точках A
и C
. Окружность S_{2}
касается прямой AC
в точке C
и проходит через точку B
. Окружность S_{1}
она пересекает в точке M
. Докажите, что прямая AM
делит отрезок BC
пополам.
Указание. Примените теорему об угле между касательной и хордой.
Решение. Первый способ. Пусть D
— точка пересечения прямой AM
с окружностью S_{2}
. По теореме об угле между касательной и хордой
\angle BAD=\angle BAM=\angle MCA=\angle CDA.
Поэтому CD\parallel AB
. С другой стороны,
\angle DAC=\angle MAC=\angle MCB=\angle BDM=\angle BDA.
Поэтому BD\parallel AC
. Следовательно, ABDC
— параллелограмм. Его диагональ AD
делит вторую диагональ BC
пополам.
Второй способ. Пусть K
— точка пересечения прямых AM
и BC
. Треугольник MKC
подобен треугольнику CKA
(по двум углам). Поэтому \frac{CK}{KM}=\frac{AK}{CK}
. Следовательно, CK^{2}=AK\cdot KM
.
С другой стороны, из подобия треугольников MBK
и BAK
следует, что BK^{2}=AK\cdot KM
. Поэтому BK=KC
.