4712. Окружность S_{1}
касается сторон угла ABC
в точках A
и C
. Окружность S_{2}
касается прямой AC
в точке C
и проходит через точку B
. Окружность S_{1}
она пересекает в точке M
. Докажите, что прямая AM
делит отрезок BC
пополам.
Указание. Примените теорему об угле между касательной и хордой.
Решение. Первый способ. Пусть D
— точка пересечения прямой AM
с окружностью S_{2}
. По теореме об угле между касательной и хордой
\angle BAD=\angle BAM=\angle MCA=\angle CDA.
Поэтому CD\parallel AB
. С другой стороны,
\angle DAC=\angle MAC=\angle MCB=\angle BDM=\angle BDA.
Поэтому BD\parallel AC
. Следовательно, ABDC
— параллелограмм. Его диагональ AD
делит вторую диагональ BC
пополам.
Второй способ. Пусть K
— точка пересечения прямых AM
и BC
. Треугольник MKC
подобен треугольнику CKA
(по двум углам). Поэтому \frac{CK}{KM}=\frac{AK}{CK}
. Следовательно, CK^{2}=AK\cdot KM
.
С другой стороны, из подобия треугольников MBK
и BAK
следует, что BK^{2}=AK\cdot KM
. Поэтому BK=KC
.
Автор: Шарыгин И. Ф.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1983-84, X, IV этап, 10 класс
Источник: Журнал «Квант». — 1985, № 2, с. 40, М887
Источник: Задачник «Кванта». — М887
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 473, с. 57
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 2.29, с. 34
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 2.30, с. 34