4713. Найдите площадь трапеции, у которой основания равны 10 и 26, а диагонали перпендикулярны боковым сторонам.
Ответ. 216.
Указание. Докажите, что данная трапеция — равнобедренная.
Решение. Пусть AD=26
, BC=10
— основания трапеции ABCD
(рис. 1). Поскольку \angle ABD=\angle ACD=90^{\circ}
, то точки A
, B
, C
и D
лежат на окружности с диаметром AD
, т. е. около трапеции ABCD
можно описать окружность. Следовательно, ABCD
— равнобедренная трапеция.
Пусть CK
— высота трапеции (рис. 2). Тогда
KD=\frac{AD-BC}{2}=8,~AK=\frac{AD+BC}{2}=18,
а так как CK
— высота прямоугольного треугольника ACD
, проведённая из вершины прямого угла, то CK=\sqrt{AK\cdot KD}=\sqrt{18\cdot8}=12
. Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot CK=18\cdot12=216.
