4714. На окружности даны точки A
, B
и C
, причём точка B
более удалена от от прямой l
, касающейся окружности в точке A
, чем C
. Прямая AC
пересекает прямую, проведённую через точку B
параллельно l
, в точке D
. Докажите, что AB^{2}=AC\cdot AD
.
Решение. Пусть K
— точка пересечения прямой BD
с окружностью, отличная от точки B
. Тогда точки B
и K
симметричны относительно диаметра окружности, проходящего через точку A
. Следовательно,
\angle ACB=\angle AKB=\angle ABK.
Треугольники ACB
и ABD
имеют общий угол A
и, кроме того, \angle ACB=\angle ABD
. Поэтому эти треугольники подобны. Следовательно,
\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB},~AB^{2}=AC\cdot AD.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 2.51, с. 36
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 2.54, с. 36