4715. В треугольнике ABC
проведена высота AH
, а из вершин B
и C
опущены перпендикуляры BB_{1}
и CC_{1}
на прямую, проходящую через точку A
. Докажите, что треугольник HB_{1}C_{1}
подобен треугольнику ABC
.
Указание. Точки A
, B_{1}
, B
, H
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть треугольник ABC
остроугольный. Поскольку точки A
, B_{1}
, B
, H
лежат на одной окружности, то
\angle C_{1}B_{1}H=\angle AB_{1}H=\angle ABH=\angle ABC.
Аналогично \angle B_{1}C_{1}H=\angle ACB
. В случае, если треугольник ABC
не остроугольный, доказательство существенно не отличается от приведённого.