4717. В треугольнике ABC
проведены высоты AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
; B_{2}
и C_{2}
— середины высот BB_{1}
и CC_{1}
. Докажите, что треугольник A_{1}B_{2}C_{2}
подобен треугольнику ABC
.
Указание. Пусть M
— середина BC
, H
— точка пересечения высот треугольника. Тогда точки A_{1}
, M
, H
, B_{2}
и C_{2}
лежат на одной окружности.
Решение. Докажем данное утверждение для остроугольного треугольника ABC
. Пусть M
— середина стороны BC
, H
— точка пересечения высот треугольника ABC
.
Поскольку MB_{2}
и MC_{2}
— средние линии треугольников BB_{1}C
и CC_{1}B
, то
\angle MB_{2}H=\angle MC_{2}H=90^{\circ}.
Поэтому точки B_{2}
и C_{2}
лежат на окружности с диаметром MH
. Поскольку \angle HA_{1}M=90^{\circ}
, то на этой окружности лежит и точка A_{1}
. Следовательно,
\angle A_{1}B_{2}C_{2}=\angle A_{1}MC_{2}=\angle CBA,~\angle A_{1}C_{2}B_{2}=\angle A_{1}HB_{2}=\angle ACB.
Поэтому треугольники A_{1}B_{2}C_{2}
и ABC
подобны.
Аналогично для тупоугольного треугольника.