4718. Вокруг правильного треугольника APQ
описан прямоугольник ABCD
, причём точки P
и Q
лежат на сторонах BC
и CD
соответственно; P_{1}
и Q_{1}
— середины сторон AP
и AQ
. Докажите, что треугольники BQ_{1}C
и CP_{1}D
подобны.
Указание. Точки Q_{1}
и C
лежат на окружности с диаметром PQ
; BQ_{1}C
и CP_{1}D
— равносторонние треугольники.
Решение. Поскольку PQ_{1}
— высота треугольника APQ
, то точки Q_{1}
и C
лежат на окружности с диаметром PQ
. Поэтому
\angle BCQ_{1}=\angle PCQ_{1}=\angle PQQ_{1}=60^{\circ}.
Аналогично \angle CBQ_{1}=60^{\circ}
. Следовательно, треугольник BQ_{1}C
— равносторонний. Аналогично для треугольника CP_{1}D
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 2.44, с. 35
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 2.47, с. 35