4723. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, а точка H
такова, что \overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}
. Докажите, что H
— точка пересечения высот треугольника ABC
.
Решение. Из равенства \overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}
следует, что
\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC},
значит, вектор \overrightarrow{AH}
коллинеарен вектору \overrightarrow{OM}
, где M
— середина стороны BC
, а так как OM\perp BC
, то AH\perp BC
. Аналогично BH\perp AC
. Следовательно, H
— точка пересечения высот треугольника ABC
.
Примечание. Верно и обратное: если H
— точка пересечения высот треугольника ABC
, а O
— центр описанной окружности, то \overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}
.