4724. Вписанная окружность треугольника ABC
касается стороны BC
в точке K
, а вневписанная — в точке L
. Докажите, что CK=BL=\frac{a+b-c}{2}
, где a
, b
, c
— длины сторон соответственно BC
, AC
и AB
треугольника ABC
.
Указание. Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны между собой.
Решение. Пусть M
и N
— точки касания вписанной окружности со сторонами AB
и AC
соответственно. Тогда
c=BM+AM=BK+AN=a-CK+b-CN=a-CK+b-CK.
Поэтому CK=\frac{a+b-c}{2}
.
С другой стороны, если P
и Q
— точки касания вневписанной окружности с продолжением сторон AB
и AC
соответственно, то
BP+CQ=BL+CL=BC=a.
Поэтому
AP=AQ=\frac{a+b+c}{2},~BL=BP=AP-AB=\frac{a+b+c}{2}-c=\frac{a+b-c}{2}.
Примечание. См. также статью А.Блинков и Ю.Блинков «Вневписанная окружность», Квант, 2009, N2, с.34-37, 45.