4729. Дан параллелограмм ABCD
. Вневписанная окружность треугольника ABD
касается продолжений сторон AD
и AB
в точках M
и N
. Докажите, что точки пересечения отрезка MN
с BC
и CD
лежат на вписанной окружности треугольника BCD
.
Указание. Обозначим точки пересечения отрезка MN
с BC
и CD
через P
и Q
, а точку касания данной окружности с отрезком BD
через F
. Докажите, что BP=BF
, CP=CQ
и DF=DQ
.
Решение. Обозначим точки пересечения отрезка MN
с BC
и CD
через P
и Q
. Если F
— точка касания данной окружности с отрезком BD
, то BF=BN=BP
(так как треугольник NBP
— равнобедренный). Аналогично докажем, что DF=FQ
.
Треугольник PCQ
подобен равнобедренному треугольнику PBN
. Поэтому CP=CQ
. Следовательно, окружность, вписанная в треугольник BCD
, касается его сторон в точках P
, Q
и F
.