4731. Прямая OA
касается окружности в точке A
, а хорда BC
параллельна OA
. Прямые OB
и OC
вторично пересекают окружность в точках K
и L
. Докажите, что прямая KL
делит отрезок OA
пополам.
Указание. Если M
— точка пересечения прямых AO
и KL
, то треугольники MOL
и MKO
подобны.
Решение. Пусть лучи AO
и BC
сонаправлены. Обозначим через M
точку пересечения прямых AO
и KL
. Тогда
\angle MOL=\angle BCL=\angle BKL=\angle MKO.
Поэтому треугольники MOL
и MKO
подобны. Следовательно,
\frac{MO}{ML}=\frac{MK}{OM},~\mbox{или}~OM^{2}=ML\cdot MK.
С другой стороны, по теореме о касательной и секущей AM^{2}=ML\cdot MK
. Следовательно, AM=OM
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 3.11, с. 59
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 3.12, с. 57
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 478, с. 57