4732. Диагонали четырёхугольника ABCD
, вписанного в окружность, пересекаются в точке E
. На прямой AC
взята точка M
, причём \angle BME=70^{\circ}
, \angle ADB=50^{\circ}
, \angle CDB=60^{\circ}
. Где расположена точка M
: на диагонали AC
или на её продолжении?
Ответ. На диагонали AC
.
Указание. Внешний угол треугольника меньше внутреннего, не смежного с ним.
Решение. Предположим, что точка M
расположена на продолжении отрезка AC
за точку C
. Тогда BCE
— внешний угол треугольника BCM
. Поэтому \angle BCE\gt\angle BMC
, что невозможно, так как
\angle BCE=\angle BCA=\angle BDA=50^{\circ},~\mbox{a}~\angle BMC=\angle BME=70^{\circ}.
Аналогично докажем, что точка M
не может лежать на продолжении отрезка AC
за точку A
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1992, № 2, вариант 3