4740. Радиус окружности, описанной около треугольника KLM
, равен R
. Через вершину L
проведена прямая, перпендикулярная стороне KM
. Эту прямую пересекают в точках A
и B
серединные перпендикуляры к сторонам KL
и LM
. Известно, то AL=a
. Найдите BL
.
Ответ. \frac{R^{2}}{a}
.
Решение. Рассмотрим случай, когда треугольник KLM
остроугольный. Пусть O
— центр его описанной окружности. Обозначим \angle LKM=\alpha
. Тогда \angle MOL=2\alpha
как центральный угол, соответствующий вписанному углу LKM
, а \angle LOB=\frac{1}{2}\angle MOL=\alpha
.
С другой стороны
\angle OAL=90^{\circ}-\angle ALK=90^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)=\alpha,
поэтому треугольники OAL
и BOL
подобны по двум углам, значит, \frac{BL}{OL}=\frac{OL}{AL}
, следовательно, BL=\frac{OL^{2}}{AL}=\frac{R^{2}}{a}
.
Аналогично для тупоугольного треугольника.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет МГУ. — 1992, вариант 2, № 6
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Факториал, 1995. — , с. 598
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 14.28, с. 113
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 305, с. 48
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 55, с. 143