4746. В ромбе ABCD
угол BCD
равен 135^{\circ}
, а стороны равны 8. Окружность касается прямой CD
и пересекает сторону AB
в двух точках, расположенных на расстоянии 1 от A
и B
. Найдите радиус этой окружности.
Ответ. \frac{41\sqrt{2}}{16}
.
Указание. Примените формулу a=2R\cdot\sin\alpha
.
Решение. Пусть R
— искомый радиус, K
— точка касания указанной окружности с прямой CD
, M
и N
— точки пересечения этой окружности со стороной AB
, AM=BN=1
.
Перпендикуляр к прямой CD
, проходящий через точку K
, пересекает хорду MN
в её середине P
. Поэтому треугольник MKN
— равнобедренный, его высота KP
равна высоте ромба, т. е. AD\sin45^{\circ}=4\sqrt{2}
. Тогда
MK=\sqrt{KP^{2}+PM^{2}}=\sqrt{32+9}=\sqrt{41},
\sin\angle NMK=\frac{KP}{MK}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{41}}.
Следовательно,
R=\frac{KN}{2\sin\angle NKM}=\frac{\sqrt{41}}{\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{41}}}=\frac{41\sqrt{2}}{16}.
Источник: Вступительный экзамен на химический факультет МГУ. — 1992, № 3, вариант 4