4751. Докажите, что длину биссектрисы треугольника, проведённой к стороне, равной a
, можно вычислить по формуле
l_{a}=\frac{2\sqrt{p(p-a)bc}}{b+c},
где p=\frac{a+b+c}{2}
.
Указание. Если AD
— биссектриса треугольника ABC
, то
AD^{2}=AB\cdot AC-BD\cdot DC.
Решение. Пусть продолжение биссектрисы AD
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке M
. Тогда AD\cdot DM=BD\cdot DC
. Из подобия треугольников ABD
и AMC
следует, что
AB\cdot AC=AD\cdot AM=AD\cdot(AD+DM)=AD^{2}+AD\cdot DM=AD^{2}+BD\cdot DC.
Кроме того,
BD=\frac{ac}{b+c}~\mbox{и}~DC=\frac{ab}{b+c}.
Следовательно,
AD^{2}=AB\cdot AC-BD\cdot DC=bc-\frac{bca^{2}}{(b+c)^{2}}=
=\frac{\left((b+c)^{2}-a^{2}\right)bc}{(b+c)^{2}}=\frac{(b+c+a)(b+c-a)bc}{(b+c)^{2}}=
=\frac{4p(p-a)bc}{(b+c)^{2}}.