4751. Докажите, что длину биссектрисы треугольника, проведённой к стороне, равной a
, можно вычислить по формуле
l_{a}=\frac{2\sqrt{p(p-a)bc}}{b+c},
где p=\frac{a+b+c}{2}
.
Указание. Если AD
— биссектриса треугольника ABC
, то
AD^{2}=AB\cdot AC-BD\cdot DC.
Решение. Пусть продолжение биссектрисы AD
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке M
. Тогда AD\cdot DM=BD\cdot DC
. Из подобия треугольников ABD
и AMC
следует, что
AB\cdot AC=AD\cdot AM=AD\cdot(AD+DM)=AD^{2}+AD\cdot DM=AD^{2}+BD\cdot DC.
Кроме того,
BD=\frac{ac}{b+c}~\mbox{и}~DC=\frac{ab}{b+c}.
Следовательно,
AD^{2}=AB\cdot AC-BD\cdot DC=bc-\frac{bca^{2}}{(b+c)^{2}}=
=\frac{\left((b+c)^{2}-a^{2}\right)bc}{(b+c)^{2}}=\frac{(b+c+a)(b+c-a)bc}{(b+c)^{2}}=
=\frac{4p(p-a)bc}{(b+c)^{2}}.
Источник: Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1948. — с. 124-125
Источник: Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. Л. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — № 7, с. 20
Источник: Делоне Б. Н., Житомирский О. К. Задачник по геометрии. — М.—Л.: ОГИЗ, 1949. — № 223, с. 22
Источник: Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957. — № 28, с. 170
Источник: Ефремовъ Д. Д. Новая геометрiя треугольника. — Одесса, 1902. — № 9, с. 23
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 12.35,
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 12.37(а), с. 292
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 167(б), с. 30
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — с. 31