4752. Две окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
, лежащими на стороне MN
треугольника MPN
, касаются друг друга и пересекают стороны MP
и PN
в точках M
, D
, и N
, C
соответственно, причём MO_{1}=O_{1}D=3
и NO_{2}=CO_{2}=6
. Найдите площадь треугольника MNP
, если известно, что отношение площади треугольника MCO_{2}
к площади треугольника O_{1}DN
равно \frac{8}{5}\sqrt{3}
и PN=MP\cdot\sqrt{2-\sqrt{3}}
.
Ответ. \frac{81(\sqrt{3}-1)}{2}
.
Указание. Составьте систему тригонометрических уравнений относительно углов PMN
и PNM
.
Решение. Обозначим \angle PMN=\alpha
, \angle PNM=\beta
. Тогда \angle DO_{1}N=2\alpha
, \angle CO_{2}M=2\beta
. Поскольку
\frac{S_{\triangle MCO_{2}}}{S_{\triangle O_{1}DN}}=\frac{O_{2}C\cdot O_{2}M\sin2\beta}{O_{1}D\cdot O_{1}N\sin2\alpha}=\frac{8\sin2\beta}{5\sin2\alpha}=\frac{8\sqrt{3}}{5},
то
\frac{\sin\beta\cos\beta}{\sin\alpha\cos\alpha}=\sqrt{3}.
По теореме синусов
\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=\frac{PM}{PN}=\frac{1}{\sqrt{2-\sqrt{3}}}=\sqrt{2+\sqrt{3}}.
Подставив найденное отношение в предыдущее равенство, получим, что
\frac{\cos\beta}{\cos\alpha}=\sqrt{2+\sqrt{3}}.
Следовательно,
\syst{\sin\alpha=\sqrt{2-\sqrt{3}}\sin\beta\\\cos\alpha=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}\cos\beta}{\sqrt{3}}.\\}
Возведём обе части этих равенств в квадрат и сложим почленно полученные равенства. Имеем уравнение
1=(2-\sqrt{3})\sin^{2}\beta+\frac{2+\sqrt{3}}{3}\cos^{2}\beta,
а так как \cos^{2}\beta=1-\sin^{2}\beta
, то это уравнение можно записать в виде
1=(2-\sqrt{3})\sin^{2}\beta+\frac{2+\sqrt{3}}{3}(1-\sin^{2}\beta).
Отсюда находим, что \sin^{2}\beta=\frac{1}{4}
.
Поскольку \alpha
и \beta
— острые углы прямоугольных треугольников MDK
и NCK
(K
— точка касания окружности), то \beta=30^{\circ}
, а так как \sin\alpha=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}
, то \alpha=15^{\circ}
. Следовательно, \angle MPN=135^{\circ}
. Тогда
PN=\frac{MN\sin15^{\circ}}{\sin45^{\circ}}=\frac{\frac{18\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{18\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2}},
S_{\triangle MNP}=\frac{1}{2}MN\cdot PN\sin30^{\circ}=\frac{81\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}=\frac{81(\sqrt{3}-1)}{2}.