4754. Четырёхугольник ABCD
вписанный. Пусть H_{a}
— ортоцентр треугольника BCD
, M_{a}
— середина отрезка AH_{a}
. Точки M_{b}
, M_{c}
и M_{d}
определяются аналогично. Докажите, что точки M_{a}
, M_{b}
, M_{c}
и M_{d}
совпадают.
Указание. Если H
— точка пересечения высот треугольника ABC
, а O
— центр его описанной окружности, то \overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}
.
Решение. Лемма. Пусть H
— точка пересечения высот треугольника ABC
, O
— центр описанной окружности. Тогда \overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}
.
Доказательство. Рассмотрим сумму векторов \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OK}
. Отрезок OK
— диагональ ромба OAKB
. Поэтому OK\perp AB
. Следовательно, OK\parallel CH
. Тогда, если \overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}
, то точка M
принадлежит высоте, проходящей через вершину C
.
Таким образом, если \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}_{1}
, то точка H_{1}
принадлежит каждой высоте треугольника ABC
. Значит, точки H_{1}
и H
совпадают. Отсюда следует доказательство леммы.
Точка M_{a}
— середина отрезка, соединяющего вершину A
четырёхугольника ABCD
с ортоцентром H_{a}
треугольника BCD
, поэтому
\overrightarrow{OM_{a}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OH_{a}}+\overrightarrow{OA}).
По доказанной лемме
\overrightarrow{OH_{a}}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD},
значит,
\overrightarrow{OM_{a}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OH_{a}}+\overrightarrow{OA})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OH_{c}}+\overrightarrow{OC})=\overrightarrow{OM_{c}},
где H_{c}
— ортоцентр треугольника ABD
. Следовательно, точка M_{c}
совпадает с M_{a}
. Аналогично для точек M_{b}
и M_{d}
.