4755. На сторонах треугольника ABC
построены параллелограммы ABKL
, BCMN
и ACFG
. Докажите, что из отрезков KN
, MF
и GL
можно составить треугольник.
Указание. Докажите, что \overrightarrow{KN}+\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{GL}=\overrightarrow{0}
.
Решение. Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, поэтому
\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{LA},~\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{NB},~\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AG}.
Поэтому
\overrightarrow{KN}+\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{GL}=(\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{BN})+(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CF})+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AL})=
=(\overrightarrow{LA}+\overrightarrow{BN})+(\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{AG})+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AL})=
=(\overrightarrow{LA}+\overrightarrow{AL})+(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{NB})+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AG})=
=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}.
Следовательно, из отрезков KN
, MF
и GL
можно составить треугольник.