4757. В окружность с центром O
вписана трапеция KLMN
, в которой KL
параллельно MN
, KL=8
, MN=2
, угол NKL
равен 45^{\circ}
. Хорда MA
окружности пересекает отрезок KL
в точке B
, причём KB=3
. Найдите расстояние от точки O
до прямой AK
.
Ответ. \frac{19}{\sqrt{26}}
.
Указание. NB
— высота трапеции.
Решение. Пусть P
— проекция вершины N
на основание KL
трапеции KLMN
. Поскольку трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная. Поэтому
KP=\frac{KL-MN}{2}=\frac{6}{2}=3.
Следовательно, точка P
совпадает с точкой B
, а NB
— высота трапеции. Тогда
ML=KN=\frac{KB}{\cos45^{\circ}}=3\sqrt{2},
BM=\sqrt{MN^{2}+NB^{2}}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.
Из подобия треугольников KBA
и MBL
следует, что \frac{KA}{ML}=\frac{KB}{BM}
. Отсюда находим, что
KA=ML\cdot\frac{KB}{BM}=\frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{13}}.
Пусть R
— радиус окружности. Тогда
OA=OK=R=\frac{LN}{2\sin45^{\circ}}=\frac{\sqrt{NB^{2}+BL^{2}}}{\sqrt{2}}=\sqrt{17}.
Пусть BH
— высота равнобедренного треугольника AOK
. Тогда
OH=\sqrt{OA^{2}-AH^{2}}=\sqrt{R^{2}-\frac{AK^{2}}{4}}=\frac{19}{\sqrt{26}}.
Источник: Вступительный экзамен на геологический факультет МГУ. — 1992, № 5, вариант 2