4764. Равнобедренная трапеция, у которой угол при основании равен 60^{\circ}
, описана около окружности. В каком отношении прямая, соединяющая точки касания окружности с боковыми сторонами, делит площадь трапеции?
Ответ. \frac{5}{27}
.
Указание. Достройте трапецию до равностороннего треугольника.
Решение. Продолжим боковые стороны AB
и CD
трапеции ABCD
до пересечения в точке K
. Точки P
и Q
касания окружности с боковыми сторонами AB
и CD
— середины сторон AK
и DK
равностороннего треугольника AKD
.
Пусть S
— площадь треугольника AKD
. Тогда
S_{\triangle PKD}=\frac{1}{4}S,~S_{APQD}=\frac{3}{4}S,~S_{\triangle BKC}=\frac{1}{9}S,
(так как треугольник BKC
подобен треугольнику AKD
с коэффициентом \frac{1}{3}
),
S_{PBCQ}=\frac{1}{4}S-\frac{1}{9}S=\frac{5}{36}S.
Следовательно,
\frac{S_{PBCQ}}{S_{APQD}}=\frac{\frac{5}{36}S}{\frac{3}{4}S}=\frac{5}{27}.