4766. В прямоугольном треугольнике ABC
катет AB=3
, катет AC=6
. Центры окружностей радиусов 1, 2 и 3 находятся соответственно в точках A
, B
и C
. Найдите радиус окружности, касающейся каждой из трёх данных окружностей внешним образом.
Ответ. \frac{8\sqrt{11}-19}{7}
Указание. Если O
— центр искомой окружности, а R
— её радиус, то OA=R+1
, OB=R+2
, OC=R+3
.
Решение. Пусть O
— центр искомой окружности, R
— её радиус. Тогда
OA=R+1,~OB=R+2,~OC=R+3.
Пусть M
и N
— проекции точки O
на прямые AC
и AB
. Обозначим AM=x
. Тогда CM=6-x
. Из прямоугольных треугольников AMO
и CMO
находим, что
CO^{2}-CM^{2}=AO^{2}-AM^{2},~\mbox{или}~(R+3)^{2}-(6-x)^{2}=(R+1)^{2}-x^{2},
откуда x=\frac{7}{3}-\frac{1}{3}R
.
Обозначим AN=y
. Рассматривая прямоугольные треугольники AON
и BON
, аналогично находим, что y=1-\frac{1}{3}R
. По теореме Пифагора
AO^{2}=AN^{2}+NO^{2}=AN^{2}+AM^{2}=y^{2}+x^{2},
или
\frac{1}{9}(3-R)^{2}+\frac{1}{9}(7-R)^{2}=(R+1)^{2}.
После упрощения получим квадратное уравнение
7R^{2}+38R-49=0.
Искомый радиус равен его положительному корню R=\frac{8\sqrt{11}-19}{7}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1966, билет 6, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 66-6-2, с. 117