4768. К двум непересекающимся окружностям проведены общие касательные. Угол между внешними касательными равен \alpha
, а угол между внутренними касательными равен \beta
. Найдите угол между прямыми, проведёнными из центра окружности большего радиуса и касающимися второй окружности.
Ответ. 2\arcsin\frac{\sin\frac{\beta}{2}-\sin\frac{\alpha}{2}}{2}
.
Указание. Выразите \sin\frac{\alpha}{2}
и \sin\frac{\beta}{2}
через радиусы окружностей и расстояние между их центрами.
Решение. Пусть MN
— общая внешняя касательная к окружностям с центрами O_{1}
и O_{2}
и радиусами r
и R
(M
и N
— точки касания, r\lt R
).
Если P
— проекция центра O_{1}
на радиус O_{2}N
, то
\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{O_{2}P}{O_{1}O_{2}}=\frac{R-r}{O_{1}O_{2}}.
Аналогично \sin\frac{\beta}{2}=\frac{R+r}{O_{1}O_{2}}
.
Если \varphi
— искомый угол, то
\sin\frac{\varphi}{2}=\frac{r}{O_{1}O_{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{R+r}{O_{1}O_{2}}-\frac{R-r}{O_{1}O_{2}}\right)=\frac{1}{2}\left(\sin\frac{\beta}{2}-\sin\frac{\alpha}{2}\right).
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1966, билет 9, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 66-9-2, с. 118