4769. Пусть I_{a}
, I_{b}
и I_{c}
— центры вневписанных окружностей треугольника ABC
, касающихся сторон BC
, AC
и AB
соответственно. Докажите, что точки A
, B
и C
— основания высот треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
.
Указание. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90^{\circ}
.
Решение. I_{a}AI_{c}
— угол между биссектрисами смежных углов. Следовательно, I_{a}A\perp I_{c}A
. Аналогично I_{a}A\perp I_{b}A
. Поэтому I_{a}A
— высота треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
. Точно так же докажем, что I_{b}B
и I_{c}C
— высоты треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
.
Примечание. Из приведённых рассуждений также следует, что вершины треугольника ABC
лежат на сторонах треугольника I_{a}I_{b}I_{c}
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 5.2, с. 105
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 5.2, с. 102
Источник: Куланин Е. Д., Федин С. Н. Геометрия треугольника в задачах: Экспериментальное учебное пособие для 8—10 кл. школ физико-математического направления. — М.: НИИ школ, 1990. — № 5(а), с. 55; № 41(б), с. 102