4771. Четырёхугольник ABCD
описан около окружности с центром O
. Докажите, что \angle AOB+\angle COD=180^{\circ}
.
Указание. Центр окружности, вписанной в четырёхугольник, есть точка пересечения биссектрис внутренних углов этого четырёхугольника.
Решение. Пусть M
, N
, P
и Q
— точки касания вписанной окружности со сторонами соответственно AB
, BC
, CD
и AD
данного четырёхугольника. Обозначим
\angle MON=2\alpha,~\angle NOP=2\beta,~\angle POQ=2\gamma,~\angle QOM=2\delta.
Тогда
\angle AOB=\alpha+\delta,~\angle COD=\beta+\gamma,
\angle AOB+\angle COD=\alpha+\beta+\gamma+\delta=\frac{1}{2}\cdot360^{\circ}=180^{\circ}.