4771. Четырёхугольник ABCD
описан около окружности с центром O
. Докажите, что \angle AOB+\angle COD=180^{\circ}
.
Указание. Центр окружности, вписанной в четырёхугольник, есть точка пересечения биссектрис внутренних углов этого четырёхугольника.
Решение. Пусть M
, N
, P
и Q
— точки касания вписанной окружности со сторонами соответственно AB
, BC
, CD
и AD
данного четырёхугольника. Обозначим
\angle MON=2\alpha,~\angle NOP=2\beta,~\angle POQ=2\gamma,~\angle QOM=2\delta.
Тогда
\angle AOB=\alpha+\delta,~\angle COD=\beta+\gamma,
\angle AOB+\angle COD=\alpha+\beta+\gamma+\delta=\frac{1}{2}\cdot360^{\circ}=180^{\circ}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1964, IV, 10 класс
Источник: Васильев Н. Б., Егоров А. А. Задачи всесоюзных математических олимпиад. — М.: Наука, 1988. — № 50, с. 28
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 6.2, с. 151
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 6.2, с. 151