4772. Докажите, что если существует окружность, касающаяся всех сторон выпуклого четырёхугольника ABCD
, и окружность, касающаяся продолжений всех его сторон, то диагонали такого четырёхугольника взаимно перпендикулярны.
Указание. Общие внешние (внутренние) касательные к двум окружностям пересекаются на линии центров.
Решение. Рассмотрим две указанные окружности. Прямые, содержащие стороны четырёхугольника, являются общими внутренними и общими внешними касательными к этим окружностям. Прямая, соединяющая центры окружностей, содержит диагональ четырёхугольника и, кроме того, является осью симметрии четырёхугольника. Значит, вторая диагональ перпендикулярна этой прямой.