4772. Докажите, что если существует окружность, касающаяся всех сторон выпуклого четырёхугольника ABCD
, и окружность, касающаяся продолжений всех его сторон, то диагонали такого четырёхугольника взаимно перпендикулярны.
Указание. Общие внешние (внутренние) касательные к двум окружностям пересекаются на линии центров.
Решение. Рассмотрим две указанные окружности. Прямые, содержащие стороны четырёхугольника, являются общими внутренними и общими внешними касательными к этим окружностям. Прямая, соединяющая центры окружностей, содержит диагональ четырёхугольника и, кроме того, является осью симметрии четырёхугольника. Значит, вторая диагональ перпендикулярна этой прямой.
Источник: Польские математические олимпиады. — 1956, задача 4
Источник: Страшевич С., Бровкин Е. Польские математические олимпиады. — М.: Мир, 1978. — № 46, с. 17
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 6.3, вариант с. 151
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 6.3, с. 152